Sommaire

Correction

\[ t = \ln(2x + 3) - 5 \] \[\Leftrightarrow\] \[ t + 5 = \ln(2x + 3) \] \[\Leftrightarrow\] \[ 2x + 3 = \exp(t + 5) \] \[\Leftrightarrow\] \[ 2x = \exp(t + 5) - 3 \] \[\Leftrightarrow\] \[ x = \frac{\exp(t + 5) - 3}{2} \]

Correction

\( \lim\limits_{x\to -1} x^2+x-3 = (-1)^2+(-1)-3=1-4=-3 \)

\( \lim\limits_{x\to -1^{-}} x+1 =0^{-}\) donc \( \lim\limits_{x\to -1^{-}} f(x)= +\infty \)

\( \lim\limits_{x\to -1^{+}} x+1 =0^{+}\) donc \( \lim\limits_{x\to -1^{+}} f(x)= -\infty \)

Correction

\( \int_{1}^{2}f(x) dx = \int_{1}^{2} 2e^{-3x}+x dx=[-\frac{2}{3}e^{-3x}+\frac{x^2}{2}]_{1}^{2}= \) \(-\frac{2}{3}e^{-3\times 2}+\frac{2^2}{2}-(-\frac{2}{3}e^{-3\times 1}+\frac{1^2}{2})=-\frac{2}{3}(e^{-6}-e^{-3}+\frac{3}{2}) \)

Correction

1. Variable \( x_i \)

\( x_i = t_i^2 \) : \( 1,\;4,\;9,\;16,\;25,\;36 \)

2. Corrélation linéaire

À l’aide d’une calculatrice : \[ r \approx 0{,}9977 \approx 1{,}00 \] La corrélation est très forte.

3. Droite de régression

La droite de régression de \( y \) en \( x \) est : \[ y = 0{,}246x + 30{,}725 \]

4. Expression de \( y \) en fonction de \( t \)

Comme \( x = t^2 \) : \[ y(t) = 0{,}246t^2 + 30{,}725 \]

5.a Estimation pour 2008

2008 correspond à \( t = 9 \). \[ y(9) \approx 50{,}6 \] Soit environ 50 600 franchisés.

5.b Dépassement de 60 000 franchisés

\[ 0{,}246t^2 + 30{,}725 = 60 \Rightarrow t \approx 10{,}9 \] Ce seuil est franchi au cours de l’année 2010.

Correction

1. Le nuage de point semble suivre une trajectoire courbe.

2. Le coefficient de corrélation linéaire entre \(x\) et \(y\) est proche de 1 : 0,959. Un ajustement affine semble un choix adapté.

3. On pose \( z_i = \ln(y_i) \). Le nuage \((x_i,z_i)\) est quasiment aligné.

4. Le coefficient de corrélation entre \(x\) et \(z\) est très proche de 1 : 0,972. La transformation logarithmique améliore nettement l’ajustement.

5. La droite de régression de \(z\) en \(x\) est de la forme : \[ z = 0.005x + 6.201 \]

6. \[ z = 0.005x + 6.201 \] \[ ln(y) = 0.005x + 6.201 \] \[ y = e^{0.005x + 6.201} \]
7. \[ e^{0.005\times 350 + 6.201}= 2838,412 \] La consommatin sera de 2838,412 GWh
8. \[ 2000 = e^{0.005x + 6.201} \] \[ ln(2000) =0.005x + 6.201 \] \[ ln(2000) -6.201=0.005x \] \[ x=\frac{ln(2000) -6.201}{0.005} \] \[ x=279,98 \] La production sera de 279980 tonnes d'acier.